kurs: K07 Funkce více proměnných

školní rok: 2003 - 2004 semestr: letní

přednáška, cvičení: RNDr. František Mošna, Ph. D.

rozsah: 2/1 ukončení: zápočet, zkouška

vstupní podmínky: úspěšné splnění kursů K04, K05, K09

Úvodní část

. opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice obecné, směrnicové a parametrické, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce (analytické vyjádření)

. konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.

Diferenciální počet

. reálné funkce více proměnných (R²(R)R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost

. derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Frèchetova derivace), vzájemné vztahy, věty o derivacích a diferenciálu (protipříklady), gradient (Ñ) - geometrický význam

. derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta

. extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)

. Banachova věta o pevném bodu, věta o implicitně zadané funkci, počítání derivací, diferenciálů, tečen, tečných rovin

. transformace souřadnic (R²(R)R², R³(R)R³) - polární, (cylindrické), sférické

Integrální počet

. vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubinniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu

. křivky v R² (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta

. křivky v R³ (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála

. plochy v R³ (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečná rovina, normála, obsah (povrch koule, plášť kužele), body na ploše (eliptické, hyperbolické,..., asymptotické směry), divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.

požadavky k zápočtu: aktivní účast na výuce (80% cvičení), zpracování zadaných domácích úkolů, úspěšné splnění kontrolních testů

požadavky ke zkoušce: znalost probraných pojmů, porozumění definicím, souvislostem, vztahům, schopnost řešit příklady a problémy

studijní literatura:

Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987

Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976

Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha)

Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha)

Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha)

Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha)

Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.)

Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha)

Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha)