Zjistěte, zda jsou následující výroky pravdivé (a zdůvodněte) či nepravdivé (a uveďte protipříklad).

 

sup(AÇ B)   ³   min ( sup(A),  sup(B) )

sup(AÇ B)   £  min ( sup(A),  sup(B) )

sup(AÈ B)   ³  max( sup(A),  sup(B) )

sup(AÈ B)  £   max( sup(A),  sup(B) )

f(AÇ B)   Í   f(A) Ç  f(B)

f(AÈ B)   Í   f(A) È  f(B)

f(AÇ B)   Ê  f(A) Ç  f(B)

f(AÈ B)   Ê   f(A) È  f(B)

f-1 ( f(A) )   Í  A

f ( f-1 (A) )  Í  A

inf (AÇ B)  ³   max ( inf(A),  inf(B) )

inf(AÇ B)  £   max ( inf(A),  inf(B) )

inf(AÈ B)  ³  min ( inf(A),  inf(B) )

inf(AÈ B)  £ min ( inf(A),  inf(B) )

f-1 (AÇ B)   Í  f-1  (A) Ç  f-1 (B)

f-1 (AÈ B)   Í  f-1  (A) È   f-1 (B)

f-1 (AÇ B)   Ê  f-1  (A) Ç  f-1 (B)

f-1 (AÈ  B)   Ê  f-1  (A) È  f-1 (B)

f-1 ( f(A) )   Ê  A

f ( f-1 (A) )   Ê  A

( f  rostoucí na I    Ù    g  rostoucí na f(I) )   Þ   fog   rostoucí na I

( f  klesající na I    Ù    g  klesající na f(I) )   Þ   fog   klesající na I

( f  klesající na I    Ù    g  rostoucí na f(I) )   Þ   fog   klesající na I

( f  rostoucí na I    Ù    g  klesající na f(I) )   Þ   fog   klesající na I

( f  klesající na I    Ù    g  klesající na f(I) )   Þ   fog   rostoucí na I

f  rostoucí na (1;¥)      Þ   f(1¤x)  klesající na (0;1)

f  rostoucí na (0;¥)      Þ   -f(-x)  rostoucí na (-¥;0)

f  rostoucí na (0;¥)      Þ   f(-x)  klesající na (0;¥)

f  rostoucí na (0;¥)      Þ   -f  klesající na (0;¥)

f  klesající na (0;¥)      Þ   fo arctan  klesající na (0;¥)

f  rostoucí na (0;¥)      Þ   fo ln  rostoucí na (0;¥)

( f  rostoucí na (-1;1)    Ù    f  kladná na (-1;1) )   Þ   1/f   klesající na (-1;1)

( f  rostoucí na (-1;1)    Ù    f  záporná na (-1;1) )   Þ   1/f   klesající na (-1;1)

( f  rostoucí na (0;1)    Ù    f  kladná na (0;1) )   Þ   f(1-x)   klesající na (0;1)

( f  prostá na I    Ù    g  prostá na I )   Þ   f+g   prostá na I

f  klesající na (1;3)      Þ   f2  rostoucí na (1;3)

f  klesající na (-1;1)      Þ   f2  rostoucí na (-1;1)

f  rostoucí na (1;3)      Þ   f2 + f  rostoucí na (1;3)

f  rostoucí na (-p/2;p/2)     Þ   f2   rostoucí na (-1;1)

f  klesající na (-1;1)      Þ   f(1/(1+x2))  klesající na (-1;0)

f  klesající na (-1;1)      Þ   f(1/(1+x2))  klesající na (0;1)

arcsin x + p/2     je inverzní k funkci    cos       na   (0;p)

arccos(-x)- p/2     je inverzní k funkci    sin        na   <-p/2;p/2 >

p/2 - arcsin x   je inverzní k funkci    cos       na   <0;p >

arctan x+ p     je inverzní k funkci    tan        na   (p/2;3p/2 >

( fof(3)=9  Ù   existuje  f--1  na ¡ )      Þ      f(3)=f--1(9)

e-x    je inverzní k funkci    ln(1/x)   na (0;¥)

"xΡ         arccot x = p/2-  arctan x

ln(1/x)   klesající na (0;¥)

  klesající na (-1;1)

f--1(1)=f(1)     Þ    f(1)=1

f--1(2)=f(2)     Þ    f(f(2))=2

"xΡ       f--1(x)=f(x)     Þ    f(x)=x

("xΡ      f-2(x)=x2  Ù   existuje  f--1  na ¡ )    Þ      f(x)=f--1(x2)