MATICE

• elementární úpravy ~ :

  (1)	výměna pořadí dvou řádků
  (2)	vynásobení řádku nenulovým číslem (výrazem)
  (3)	přičtení násobku jednoho řádku k jinému

  
  

  Gaussův (stupňovitý) tvar:

  v každém řádku pod prvním nenulovým číslem zleva není nic jiného než nuly

• operace s maticemi
  • sčítání (odčítání) matic - po prvcích (sčítat lze matice stejného typu)

    	2	-1	3		+		3	2	-1		=		5 2+3	1 -1+2	2 3-1
    	1	1	-1				2	-1	3				3 1+2	0 1-1	2 -1+3

  • (číselný) násobek matice - číslem násobíme každý prvek

    (-2)	×		2	-1	3		=		-4	2	-6
    			1	1	-1				-2	-2	2

  • násobení dvou matic - skalární součin příslušného řádku první matice a sloupce druhé (sčítat lze matice typu n ´ m a m ´ p, výsledná matice je typu n ´ p )

    	2	-1	3				2	1	-3		=		0 2.2-1.1+3.(-1)	1 2.1-1.1+3.0	-4 2.(-3)-1.2+3.1
    	1	1	-1				1	1	2				4 1.2+1.1-1.(-1)	2 1.1+1.1-1.0	-2 2.(-3)-1.2+3.1
    							-1	0	1

    
    (násobení matic není komutativní, tzn. ne vždy platí rovnost A × B = B × A )
  • transponovaná matice A^T - vyměníme řádky za sloupce
• hodnost matice A
  hod A = maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A      (= maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A)
  hod A £  počet řádků matice A
  hod A £  počet sloupců matice A
  hod A^T = hod A
  A ~ B Þ hod A= hod B
  
  výpočet hod A: pomocí elementárních úprav (~)
         převedeme matici A na matici B v Gaussově (stupňovitém) tvaru
         hod A = počet nenulových řádků matice B

• determinant matice A
  
  

  kde

  
  det A × B = det A × det B        (Laplaceova věta)
  det A^T= det A
  
  výpočet det A (Sarusovo pravidlo):
  

  (pro n=2)	(pro n=3)

  
  (pro n větší neexistuje obdoba Sarusova pravidla a je třeba použít jiných metod)
• inverzní matice A^-1
  
  A^-1 je taková matice, že A^-1 × A = A × A^-1 = E (jednotková matice)
  
  výpočet A^-1:
  • pomocí determinantů

    (pro n=2)	(pro n=3)

    
    (podobně pro n větší)
  • pomocí elementárních úprav ~
  
  matice A (typu n ´ n) je regulární právě když je splněna jedna z následujících ekvivalentních podmínek:
          k matici A existuje inverzní matice A^-1
          det A ¹ 0
          hod A = n
          řádky matice A jsou lineárně nezávislé
          sloupce matice A jsou lineárně nezávislé