vektory

VEKTORY

vektor $\vec{v}$ je linerní kombinace vektorů $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ právě když existují čísla $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k$ tak, že $\vec{v}=\alpha_1\cdot\vec{u}_1+\alpha_2\cdot\vec{u}_2+\dots+\alpha_k\cdot\vec{u}_k$

$\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ jsou lineárně závislé právě když alespoň jeden z těchto vektorů lze nepsat jako lineární kombinace ostatních

(tj. právě když existují čísla $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k$ mezi nimiž je alespoň jedno nenulové, tak, že $\vec{o}=\alpha_1\cdot\vec{u}_1+\alpha_2\cdot\vec{u}_2+\dots+\alpha_k\cdot\vec{u}_k$ )

$\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ jsou lineárně nezávislé právě když nejsou lineárně závislé

tj. právě když žádný z těchto vektorů nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních

(tj. právě když platí $\vec{o}=\alpha_1\cdot\vec{u}_1+\alpha_2\cdot\vec{u}_2+\dots+\alpha_k\cdot\vec{u}_k \Longrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0)$

je lineární podprostor vektorového prostoru

$\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ je báze vektorového prostoru právě když

každý vektor z lze zapsat jako lineární kombinaci vektorů $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$
$\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ jsou lineárně nezávislé

dimenze $\dim U =$ počet prvků báze

příklady:

zapište vektor jako linerní kombinaci vektorů
- řešíme soustavu $\begin{displaymath}\left(\vec{u}_1^T,\vec{u}_2^T,\dots,\vec{u}_k^T\vert\vec{v}^T\right)\end{displaymath}$
  a dostaneme řešení $x_1,x_2,\dots,x_k$
- pak $\begin{displaymath}\vec{v}=x_1\cdot\vec{u}_1+x_2\cdot\vec{u}_2+\dots+x_k\cdot\vec{u}_k\end{displaymath}$
vektory $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_k$ jsou lineárně nezávislé právě když
$\begin{displaymath}\hbox{hod} \left(\begin{array}{c}\vec{u}_1\\ \vec{u}_2\\... ...\end{array} \right)= k \hbox{ (= po\v cet vektor\accent23 u)} \end{displaymath}$


	dvourozměrný vektorový prostor V2	třírozměrný vektorový prostor V3


velikost

skalární součin


vnější součin
	(obsah trojúhelníka = 1/2 obsahu rovnoběžníka)	(obsah čtyřstěnu = 1/6 obsahu rovnoběžnostěnu)

vektorový součin


(něco jako vektorový součin)